Question

已知F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點，過點F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A．(1， 

  2

  )
• B．(

  2

  ， 

  3

  )
• C．(

  3

  ， 2)
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：根據斜率與平行的關系即可得出過焦點F₂的直線，與另一條漸近線聯立即可得到交點M的坐標，再利用點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外和離心率的計算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，
過點F₂（c，0）且與漸近線y=

b

a

x平行的直線為y=

b

a

(x-c)，
與另一條漸近線y=-

b

a

x聯立

y= b a (x-c) y=- b a x

解得

x= c 2 y=- bc 2a

，即點M(

c

2

，-

bc

2a

)．
∴|OM|=

( c 2 )2+(- bc 2a )2

=

c

2

1+( b a )2

．
∵點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外，∴|OM|＞c，
∴

c

2

1+( b a )2

＞c，解得

1+( b a )2

＞2．
∴雙曲線離心率e=

c

a

=

1+( b a )2

＞2．
故雙曲線離心率的取值范圍是（2，+∞）．
故選D．

點評：熟練掌握平行線與向量的關系、雙曲線的漸近線、兩點間的距離計算公式、離心率的計算公式、點與圓的位置關系是解題的關鍵．