Question

解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．用數學歸納法證明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

 (n∈N*)．

Answer 1

分析：利用數學歸納法的證明的步驟，（1）驗證n=1時等式成立；（2）設當n=k（k∈N^*）時，等式成立，證明n=k+1時，等式也成立，即可．

解答：證明：（1）當n=1時，左邊=1×2×3=6，右邊=

1×2×3×4

4

=6=左邊，
∴等式成立．（2分）
（2）設當n=k（k∈N^*）時，等式成立，
即1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．（4分）
則當n=k+1時，左邊=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

= k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 = (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1時，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式對于任意n∈N^*成立．（10分）

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟和方法，注意n=k+1時，與n=k時等式的結構形式必須一致．