Question

（14分）設函數，其中.

(Ⅰ)若，求在上的最小值；

（Ⅱ）如果在定義域內既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅲ）存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）由題意知，的定義域為，b=-12時，由，得x=2(x=-3舍去)，當時，，  當時，得到單調性，求解最值。

（2）由題意可知在給定區間上有兩個不等的實根，因此借助于二次函數解得。

（3）構造該函數，結合導數判定單調性，然后得到不等式的證明。

解：（Ⅰ）由題意知，的定義域為，b=-12時，由，得x=2(x=-3舍去)，當時，，  當時，，

所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，

所以；    ……………5分

（Ⅲ），則，

，所以函數在上單調遞增，

又時，恒有，

顯然，存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.………14分