Question

設函數ω（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π ）在x=

π

6

處取得最大值2，其圖象與軸的相鄰兩個交點的距離為

π

2

．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）通過函數的周期求出ω，求出A，利用函數經過的特殊點求出φ，推出f（x）的解析式；
（II）直接利用函數的解析式，通過正弦函數的值域求出所求函數的值域即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知f（x）的周期為T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=

π

6

處取得最大值2，所以A=2，從而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=

π

6

，
故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）因為y=sinx∈[-1，1]，
所以sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]；則2sin（2x+

π

6

）∈[-2，2]；
函數f（x）的值域：[-2，2]

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，正弦函數的值域的應用，考查計算能力．