Question

（2009•普陀區(qū)二模）某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個(gè)半圓，固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，求此時(shí)三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積；
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f（x）；
（3）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí)，三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，MN應(yīng)位于DC上方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長(zhǎng)，由三角形面積公式求面積
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈(0，

1

2

)時(shí)，由三角形面積公式建立面積模型．當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈(

1

2

，

3

2

)時(shí)，由三角形面積公式建立面積模型．
（3）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當(dāng)中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的建設(shè)方案．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，MN應(yīng)位于DC上方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米，又因?yàn)镋M=EN=1米，所以MN=

3

米，所以S△EMN=

3

4

平方米，即三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積為

3

4

平方米
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈(0，

1

2

)時(shí)，△EMN的面積S=

1

2

×MN×(

1

2

-x)=

1

2

-x；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈(

1

2

，

3

2

)時(shí)，△EMN的面積S=(x-

1

2

)•

1-(x- 1 2 )2

綜上可得S=f(x)=

-x+ 1 2 ，x∈(0 1 2 ) (x- 1 2 )• 1-(x- 1 2 )2 ，x∈( 1 2 3 2 )

；
（3）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上單調(diào)遞減，則f（x）＜f（0）=

1

2

；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，f(x)=(x-

1

2

)•

1-(x- 1 2 )2

≤

(x- 1 2 )2+[1-(x- 1 2 )2]

2

=

1

2

等號(hào)成立時(shí)，x=

1

2

(

2

+1)
因此當(dāng)x=

1

2

(

2

+1)（米）時(shí)，每個(gè)三角形得到最大通風(fēng)面積為

1

2

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數(shù)求最值以及基本不等式法等解題方法．