Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1）平面內兩點G、M同時滿足①，②==，③∥
（1）求頂點C的軌跡E的方程
（2）設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為（，0），已知∥，∥且•=0．求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，以，分別得到解析式，聯立即可求出頂點C的軌跡E的方程．
（2）根據題意設出直線PQ的方程，將之代入（1）的方程中，運用設而不求韋達定理，求出|PQ|，然后根據RN⊥PQ，求出S的解析式．最后即可求出四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．
解答：解：（1）設C（x，y），
∵，
由①知，
∴G為△ABC的重心，
∴G（，）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x軸上．
由③知M（，0），
由得

化簡整理得：（x≠0）
（2）F（，0）恰為的右焦點
設PQ的斜率為k≠0且k≠±，
則直線PQ的方程為y=k（x-）
由
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=，x₁•x₂=；
則|PQ|=•
=•
=
∵RN⊥PQ，把k換成
得|RN|=
∴S=|PQ|•|RN|
==）
∴∵≥2，
∴≥16，
∴≤S＜2，（當k=±1時取等號）
又當k不存在或k=0時S=2
綜上可得≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量數量積的運算，以及求點的軌跡方程．通過運用設而不求韋達定理，方便的求出坐標的關系，考查了對知識的綜合運用能力，屬于中檔題．