Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），
（1）證明函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（3）當x∈[1，2]時函數f （x ）的最大值為

10

3

，求此時a的值．

Answer 1

分析：（1）只需證明函數為偶函數；（2）關鍵是作差，變形；（3）由（2）知a2+a-2=

10

3

，從而可求a的值．

解答：解：（1）f（-x）=a^-x+a^x=f（x），故函數是偶函數，所以函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱；
（2）單調遞增，證明如下
設x₁＜x₂，x∈（0，+∞），則f(x1)-f(x2)=ax1+a-x1-ax2-a-x2=(ax1-ax2)  (1-

1

ax1ax2

)＜0，從而f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（3）由（2）知a2+a-2=

10

3

，解得a=

3

3

或a=

3

點評：本題主要考查偶函數的定義及其圖象性質，考查函數單調性的定義，考查利用單調性求函數的最值．