Question

已知偶函數f（x），對任意x₁，x₂∈R，恒有：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，
（1）求f（0），f（1），f（2）的值；
（2）求f（x）；
（3）判斷F（x）=[f（x）]²-2f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同樣x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根據f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先求出其解析式，再利用其導函數即可得到在（0，+∞）上的單調性．
解答：解：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，∵f（0）=-1∴f（1）=0，
令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）因為：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
故f（x）=x²-1；
（3）∵F（x）=[f（x）]²-2f（x）=x⁴-4x²+3，
∴F′（x）=4x³-8x=4x（x²-2）=4x（x+）（x-）；
∴在（，+∞）上F′（x）＞0，在（0，）上F′（x）＜0
故函數F（x）在[）上是增函數，在（0，）上為減函數．
點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合．解決第一問的關鍵在于賦值法的應用．一般在見到函數解析式不知道而要求具體的函數值時，多用賦值法來解決．