Question

（2009•閔行區二模）（文）斜率為1的直線過拋物線y²=4x的焦點，且與拋物線交于兩點A、B．
（1）求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量

a

=(-2，0)平移得直線m，N是m上的動點，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）設C（2，0），D為拋物線y²=4x上一動點，證明：存在一條定直線l：x=a，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值，并求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程求出焦點坐標，利用直線方程的點斜式寫出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，再代入弦長公式，就可求出|AB|的值．
（2）利用向量平移公式求出直線AB平移后的方程，設出動點N的坐標，代入

NA

•

NB

，利用（1）中所求x₁+x₂，x₁x₂，化簡，再用二次函數求最值的方法求出最小值．
（3）先假設存在一條定直線l：x=a，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值，設出直線l與以CD為直徑的圓的交點為P，Q，則動圓圓心到P，Q的距離都等于CD距離的一半，再求出動圓圓心到直線l的距離，利用圓中半徑，弦心距，半弦滿足勾股定理，計算出半弦，看是否為常數，若是，則假設正確，若不是，則假設不正確．再根據求出的a值，寫出直線l的方程即可．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0
則x₁+x₂=6，由定義可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）由（1）可設N（x₀，x₀+1），
則

NA

=(x1-x0，y1-x0-1)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-1)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+1)(y1+y2)+(x0+1)2
由x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，y₁+y₂=4
則

NA

•

NB

=2

x

2 0

-8x0-6=2(x0-2)2-14
當x₀=2時，

NA

•

NB

的最小值為-14．                              
（3）設CD的中點為O'，l與以CD為直徑的圓相交于點P、Q，
設PQ的中點為H，則O'H⊥PQ，O'點的坐標為(

x1+2

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

(x1-2)2+y12

=

1

2

x 2 1 +4

，
|O′H|=|a-

x1+2

2

|=

1

2

|2a-x1-2|，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

2 1

+4)-

1

4

(2a-x1-2)2
=（a-1）x₁-a²+2a，∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-1）x₁-a²+2a]．                         
令a-1=0，得a=1，此時|PQ|=2為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為x=1，即拋物線的通徑所在的直線．

點評：本題主要考查了直線與拋物線相交時弦長的求法，直線與圓相交時弦長的求法，其中注意韋達定理的應用．