Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²-3x，g（x）=ax²-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處有相同的切線l．
（I）若a=

1

2

，求切線l的方程；
（II）已知m＜x₀＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當x∈（m，n）且x≠x₀時，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區間（m，n）上“內切”，若f（x）與g（x）在區間（-3，5）上“內切”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由導數的幾何意義即可求解
（2）根據題目的定義，由函數f（x）與g（x）在區間（-3，5）上內切，可轉化為f（x）-k（x）＞0恒成立，轉化為求解函數的最值問題即可求解

解答：解（I）當a=

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2

時，f′（x）=x²-2x-3，g′（x）=2ax-3=x-3
由f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處有相同的切線l可得，x02-2x0 -3=2ax0-3=x₀-3
∴x₀=0或x₀=3（3分）
當x₀=0時，y₀=0，此時b=0，切線的斜率k=-3，直線方程為y=-3x不是曲線的公共切線，（舍去）
當x₀=3時，y₀=-9，此時b=-

9

2

，切線的斜率k=0，切線方程y=-9
∴所求的切線方程為y=-9（6分）
（II）∵a＞0，k（x）=g′（x₀）（x-x₀）+g（x₀）
∴g（x）-k（x）=g（x）-g′（x）（x-x₀）-g（x₀）=a(x-x0)2＞0（9分）
∵f（x）與g（x）在區間（-3，5）上“內切”，
∴f（x）-k（x）＞0
∴f（x）-k（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀）
=

1

3

(x-x0)2（x+2x₀-3）=

1

3

（x-2a-2）²（x+4a+1）＞0（12分）
∴x＞-4a-1對任意x∈（-3，5）恒成立，則-4a-1≤-3
∴a≥

1

2

∵-3＜2a+2＜5
∴

1

2

≤a＜

3

2

（15分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用，及函數的恒成立問題的轉化的應用，還考查了一定的計算能力