Question

設函數y=log3(x2+ax+10)
（1）a=6時，求函數的值域
（2）若函數的定義域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用二次函數的性質求真數的范圍，利用對數函數的單調性求出f（x）的值域．
（2）由題意可得，2x²-8x+m＞0恒成立，則△=64-8m＜0，解不等式可求m的范圍．

解答：解：（1）當a=6時，函數y=log3(x2+6x+10)，令t=x²+6x+10
t=x²+6x+10=（x+3）²+1≥1，
∵底數3＞1，
∴f（x）的最小值為log₃1=0，故f（x）的值域為[0，+∞）．
（2）由題意可得，x²+ax+10＞0恒成立
∴△=a²-40＜0
∴-2

10

＜a＜2

10

．
故a的取值范圍：-2

10

＜a＜2

10

．

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用、利用對數函數的單調性求函數的最值，考查了對數函數的恒成立問題，主要結合了二次函數的性質，要主要區別：若該函數的值域為R?△≥0．