Question

設函數y=f（x）的定義域為D，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數x=g（t）是函數y=f（x）的一個等值域變換．
有下列說法：
①若f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R，則x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換；
②f（x）=|x|（x∈R），x=log3(t2+1)，(t∈R)，則x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
③若f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R，則x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
④設f（x）=log₂x（x＞0），若x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一個等值域變換，且函數f（g（t））的定義域為R，則m的取值范圍是m≤-2．
在上述說法中，正確說法的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：已知等值域變換的定義，分別求出f（x）和g（x）的值域和定義域，對①②③④進行一一驗證，從而求解；

解答：解：①函數f（x）=2x+b，x∈R的值域為R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，值域不一樣，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換，故①中結論是正確的；
②可得f（x）=|x|≥0，值域大于等于0，
∵x=log3(t2+1)，(t∈R)，
∴y=f（g（t））=|log3(t2+1)|=log3(t2+1)≥0，值域大于等于0，
所以，x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，故②中結論是正確的；
③若f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∵x=g（t）=2^t，
∴y=f（g（t））=（2^t-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，故③的結論是正確；
④f（x）=log₂x（x＞0），值域為R，
∵x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一個等值域變換，
∴函數f（g（t））的定義域為R，值域也為R，
∴f（g（t））=log₂（5^t+5^-t+m）的值域為R，可得5^t+5^-t+m可以取到一切正數，所以m≤-（5^t+5^-t）≤-2，在R上恒成立，
∴m≤-2，故④正確，
綜上知，①②③④是正確的
故選D；

點評：考查新定義，解題的關鍵的是能夠讀懂新定義，利用了整體代換的思想，是一道綜合題；