Question

設函數y=f（x）的定義域為R₊，若對于給定的正數k，定義函數：fk(x)=

k，f(x)≤k f(x)，f(x)＞k

，則當函數f(x)=

1

x

，k=1時，函數f_k（x）的圖象與直線x=

1

4

，x=2，y=0圍成的圖形的面積為（　　）

A．2ln2+2

B．2ln2-1

C．2ln2

D．2ln2+1

Answer 1

分析：把k=1得入求得此分段函數的函數值并求出相應x的取值范圍，然后利用定積分的幾何意義，求出定積分的值即可．

解答：解：因為函數f（x）=

1

x

，K=1時，
∴f₁（x）=

1，( 1 x ≤1) 1 x ，( 1 x ＞1)

⇒f₁（x）=

1，(x≥1) 1 x ，(0＜x＜1)

∴函數f_k（x）的圖象與直線x=

1

4

，x=2，y=0圍成的圖形的面積為：
 

∫

2 1 4

fK（x）dx=

∫

1 1 4

1

x

dx+∫₁²1d_x=1+2ln2
故選D

點評：本小題主要考查分段函數、定積分的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．