Question

給出以下三個命題，其中所有正確命題的序號為

①②

．
①設

a

，

b

均為單位向量，若|

a

+

b

|＞1，則θ∈[0，

2π

3

)
②函數f （x）=xsinx+l，當x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函數f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，則動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．

Answer 1

分析：①設

a

與

b

的夾角為θ，將已知等式平方，結合向量模的含義和單位向量長度為1，化簡整理可得

a

•

b

=-

1

2

，再結合向量數量積的定義和夾角的范圍，可得夾角θ的范圍．
②先判斷函數的奇偶性，易知是偶函數，同時再證明單調性，即可得到結論．
③由題意可得 a²-2=2-b²，從而即可求出a²+b²的值，利用直線與圓的位置關系可得動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值，注意等號成立的條件．

解答：解：①設

a

與

b

的夾角為θ，
∵|

a

+

b

|＞1，∴（

a

+

b

）²=

a

²+2

a

•

b

+

b

²＞1…（*）
∵向量

a

，

b

均為單位向量，可得|

a

|=|

b

|=1
∴代入（*）式，得1+2

a

•

b

+1=1＞1，所以

a

•

b

＞-

1

2

根據向量數量積的定義，得|

a

|•|

b

|cosθ＞-

1

2

∴cosθ＞-

1

2

，結合θ∈[0，π]，得θ∈[0，

2π

3

)．①正確．
②由已知得f（x）是偶函數，且在區間[0，

π

2

]上遞增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正確；
③∵函數f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，0＜a＜

2

即 a²+b²=4，0＜a＜

2

，故動點P（a，b）在圓弧a²+b²=4（0＜a＜

2

）上，
動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑：d-r=

15

5

-2=1，此時點P不在圓弧上，故不正確．
故答案為：①②．

點評：本題主要考查向量的有關概念、導數的應用、函數的圖象及綜合應用能力．