分析：此題考查的是函數的奇偶性和單調性問題．在解答時可以充分利用解析式的特點和性質．對（1）可以利用奇函數的定義將問題轉化為恒成立問題，利用對應系數相等獲得解答，也可一通過奇函數在原點有意義時，f（0）=0入手解答；
對（2）直接利用求導公式求導，分析導函數的特點即可獲得解答；
（3）可以首先將f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0結合奇偶性轉化為f（2t2+4t）＜f（-k+t2），從而轉化出-k＞t2+4t再結合t的范圍即可獲得解答．
解答：解：方法一：
（1）由定義在R上的函數
f(x)=是奇函數得對一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即
+=0 即+=0，
整理得（a+b）（3
x）
2+（ab+1）3
x+a+b=0對任意x∈R恒成立，
故
，解得
或，
又因為函數的定義域為R，故a=1，b=-1．
方法二：由題意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此時
f(x)=，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此時
f(x)=，經檢驗滿足f（-x）=-f（x）符合題意．
（2）由
f(x)=得
f′(x)=| 3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3 |
| (3x+1)2 |
=＞0恒成立，
故函數y=f（x）在R上為增函數．
（3）函數y=f（x）為奇函數且在R上為增函數
由f（2t
2+4t）+f（k-t
2）＜0得f（2t
2+4t）＜-f（k-t
2）2t
2+4t＜t
2-k（12分）-k＞t
2+4t=（t+2）
2-4對一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）
2-4}
max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴實數k的取值范圍是k＜-21．
點評：本題考查的是函數的奇偶性和單調性問題．在解答的過程當中充分體現了恒成立思想、求導的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．
