Question

已知函數f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和與差的正弦和余弦公式將函數f（x）展開再整理，可將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據T=

2π

w

可求出最小正周期，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的值即可得到對稱軸方程．

（2）先根據x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，再由正弦函數的單調性可求出最小值和最大值，進而得到函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函數圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)

（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因為f(x)=sin(2x-

π

6

)在區間[-

π

12

，

π

3

]上單調遞增，在區間[

π

3

，

π

2

]上單調遞減，
所以當x=

π

3

時，f（x）取最大值1，
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，當x=-

π

12

時，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函數的基本性質--最小正周期、對稱性、和單調性．考查對基礎知識的掌握情況．