Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，焦距為2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓的另一個交點為點，與圓的另一個交點為點，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直線不存在．見解析

【解析】

（1）據題意有，，則通過計算可得橢圓的標準方程；

（2）可先假設直線存在，可設直線的斜率為，則直線．根據及圓的性質可知垂直平分．再根據點到直線的距離公式可得的關于的表達式，再解可得的關于的表達式．然后聯立直線與橢圓方程，消去整理可得一元二次方程，根據韋達定理有，．根據弦長公式可得的關于的另一個表達式．根據存在性則兩個表達式相等，如果值存在則直線存在；如果沒有值則直線不存在．

（1）由題意，可知，．則，．

橢圓的標準方程為．

（2）由題意，假設存在直線使得，可設直線的斜率為．

則直線．

，即點為線段中點，

根據圓的性質，可知，且平分．

根據題意畫圖如下：

則．

在中，．

聯立直線與橢圓方程，可得：

，

消去，整理得．

則△．

，．

．

，整理，得．很明顯矛盾，

故直線不存在．