Question

【題目】已知函數，.

（1）若曲線在處的切線恰與曲線相切，求a的值；

（2）不等式對一切正實數x恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知，若函數在上有且只有一個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或或.

【解析】

（1）求出切線方程后，再與二次函數聯立，利用判別式為0，即可求得的值；

（2）將問題轉化為對任意的恒成立，再利用參變分離和構造函數，即可得答案；

（3）由題意得，，對分和兩種情況討論，從而求得的取值范圍.

（1）因為，所以，又切點為，

因此曲線在處的切線為，

將與聯立，消去y得：，

由題意知，

解得.

（2）因為，所以，

即，

設，

則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

因此，

所以，即.

（3），，

①當時，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以，

當，即時，

因為，

又，

所以在上存在唯一的零點，

因此在上無零點，所以即，解得

又，所以.

當，即時，有唯一的零點.

當，即時，恒成立，所以無零點.

②當時，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

因為，所以當，無零點.

設，則，于是，

又，

所以在上存在唯一的零點，即在上有且只有一個零點，

綜上可知，或或.