Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示． 下列關于f（x）的命題： x -1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 ①函數f（x）的極大值點為0，4； ②函數f（x）在[0，2]上是減函數； ③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4； ④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點； ⑤函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個． 其中正確命題的個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①由f（x）的導函數y=f′（x）的圖象知函數f（x）的極大值點為0，4；②由在[0，2]上導函數為負知②正確；由f（x）=a知，極小值f（2）未知，無法判斷函數y=f（x）-a有幾個零點，④⑤依照相應理論即可判斷

解答：解：①由f（x）的導函數y=f′（x）的圖象知，
函數f（x）的極大值點為0，4，故①正確；
②因為在[0，2]上導函數為負，
故函數f（x）在[0，2]上是減函數，故②正確；
③由表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，
若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤；
④由f（x）=a知，因為極小值f（2）未知，
所以無法判斷函數y=f（x）-a有幾個零點，故④不正確；
⑤∵函數f（x）在定義域為[-1，5]共有兩個單調增區間，兩個單調減區間，
故函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個，故⑤正確．
故答案為：B．

點評：本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減．