Question

在xoy平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，對每一個（n∈N₊），點P_n（a_n，b_n）在函數y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）的圖象上，且點P_n（a_n，b_n）與點（n，0）和（n+1，0）構成一個以點P_n（a_n，b_n）為頂點的等腰三角形．
（1）求點P_n（a_n，b_n）的縱坐標b_n關于n的表達式；
（2）若對每一個自然數n，以b_n，b_n+1，b_n+2能構成一個三角形，求a的范圍；
（3）設B_n=b₁•b₂•b₃•…•b_n（n∈N₊），若a取（2）中確定的范圍內的最小整數時，求{B_n}中的最大項．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，所以a_n=n+

1

2

，再由點P_n（a_n，b_n）在函數y=2000（

a

10

s）^x（0＜a＜10）的圖象上查求出b_n=2000(

a

10

)n+

1

2

．
（2）由題設條件知b_n＞b_n+1＞b_n+2，b_n+2+b_n+1＞b_n，從而（

a

10

）²+（

a

10

）-1＞0，由此可求出a的范圍．
（3）由題意知a=7，2000(

7

10

)n+

1

2

≥1且2000(

7

10

)n+1+

1

2

＜1．從而{B_n}的最大項是第20項．

解答：解：（1）由于三角形為等腰三角形，所以點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，
從而a_n=n+

1

2

，又因為點P_n（a_n，b_n）在函數y=2000（

a

10

s）^x（0＜a＜10）的圖象上，所以b_n=2000(

a

10

)n+

1

2

．
（2）因為函數y=2000（

a

10

s）^x（0＜a＜10）是單調遞減，所以對每一個自然數n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，
又因為以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，所以b_n+2+b_n+1＞b_n，從而
2000(

a

10

)n+2+

1

2

+2000(

a

10

)n+1+

1

2

＞2000(

a

10

)n+

1

2

，
即：（

a

10

）²+（

a

10

）-1＞0，
解得：5（

5

-1）＜a＜10．
（3）因為5（

5

-1）＜a＜10且a是整數，所以a=7，因此b_n=2000(

7

10

)n+

1

2

，
又因為B_n=b_nB_n-1，于是當b_n+1≥1時，B_n≥B_n-1，當b_n+1＜1時，B_n＜B_n+1，
所以{B_n}的最大項的項n滿足b_n≥1且b_n+1＜1，即：
2000(

7

10

)n+

1

2

≥1且2000(

7

10

)n+1+

1

2

＜1．
解得：19.8＜n＜20.9，又n∈N，所以，n=20，從而{B_n}的最大項是第20項．

點評：本題考查數列知識的綜合運用，具有一定的難度，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件，仔細解題．