Question

（2000•上海）在XOY平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，對每個自然數n，點P，位于函數y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)的圖象上，且點P_n，點（n，0）與點（n+1.0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求點P_n的縱坐標b_n的表達式．
（Ⅱ）若對每個自然數n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，求a取值范圍．
（Ⅲ）設B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a�。�2）中確定的范圍內的最小整數，求數列{B_n}的最大項的項數．

Answer 1

分析：（I）利用點P_n，點（n，0）與點（n+1.0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形，可得點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，求出a_n，即可求點P_n的縱坐標b_n的表達式．
（Ⅱ）函數y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)遞減，可得對每一個自然數n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，進而由b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，可得b_n+2+b_n+1＞b_n，由此可求a的取值范圍；
（III）確定數列{B_n}的最大項的項數n滿足不等式b_n≥1且b_n+1＜1，即可確定結論．

解答：解：（I）由題意，∵點P_n，點（n，0）與點（n+1.0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形，
∴點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，
∴an=n+

1

2

，∴bn=2000(

a

10

)n+

1

2

，…（4分）
（II）∵函數y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)遞減，
∴對每個自然數n，有b_n＞b_n+1＞b_n+2，則以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是b_n+2b_n+1b_n，
即(

a

10

)2+(

a

10

)-1＞0…（7分）
解得a＜-5(1+

5

)或a＞5(

5-1

)
∴5(

5

-1)＜a＜10，…（10分）
（III）∵5(

5

-1)＜a＜10，a�。�2）中確定的范圍內的最小整數，
∴a=7，
∴bn=2000(

7

10

)n+

1

2

…（12分）
∴數列{b_n}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2，B_n=b_nB_n-1，
于是當b_n≥1時，B_n≥B_n-1，當b_n＜1時，B_n＜B_n-1，
因此，數列{B_n}的最大項的項數n滿足不等式b_n≥1且b_n+1＜1．
由bn=2000(

7

10

)n+

1

2

≥1得n≤20.8，
∴n=20．…（16分）

點評：本題考查數列知識的綜合運用，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵，屬于中檔題．