Question

11、函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，則x²+y²的取值范圍是

（4，6）

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱．推斷出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，可知x²-6x＜-y²+8y-24，化簡(jiǎn)得（x-3）²+（y-4）²＜1，求x²+y²的范圍實(shí)際是求點(diǎn)（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱．
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0
∴f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即：（x-3）²+（y-4）²＜1
x²+y²的范圍則為以點(diǎn)（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離
∴4＜x²+y²＜6
故答案為：（4，6）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．本題采用了數(shù)形結(jié)合的方法，把x²+y²轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．