Question

已知中心的坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F₁
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過橢圓的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F、M兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（法一）（I）由題意可設雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0），由一個焦點為F₁（2，0）可得C的另一個焦點為F₂（-2，0），由雙曲線的定義可求2a，由c=2，結合b²=c²-a²可求b，從而可求雙曲線方程
（II）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交雙曲線于點A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，定值是2
證明：由于直線與x軸不垂直，可設直線L的方程為y=k（x-1），聯立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，可求線段AB的中點P的坐標，及AB的垂直平分線MP的方程，及M，從而可求MF₁，而=，代入可求AB，即可
（III）過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則為定值，定值是（其中e 是圓錐曲線E的離心率）
（法二）（I）由題意可設雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）
由已知可得，解方程可求a，b，進而可求方程
（ II）（III）同法一
解答：解：（I）由題意可設雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）
∵點，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F₁
∴雙曲線C的一個焦點為F₁（2，0）可得C的另一個焦點為F₂（-2，0）（1分）
由2a=||QF₁|-|QF₂||=||=（3分）
∴a=，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）
雙曲線的方程為
（II）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交拋物線于點A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，定值是2（6分）
證明如下：由于直線與x軸不垂直，可設直線L的方程為y=k（x-1）（k≠0）
聯立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由題意L與C有兩個交點A，B，則k²≠0，△＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
∴線段AB的中點P的坐標（8分）
AB的垂直平分線MP的方程為
令y=0可得，即M（），F₁（1，0）
∴|MF₁|=（9分）
∵=
==
∴=2（10分）
（III）過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則為定值，定值是（其中e 是圓錐曲線E的離心率）（13分）
（法二）由題意可設雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）（1分）
由已知可得（3分）
解可得，
∴雙曲線的方程為（4分）
（II ），（III）同法一
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用及弦長公式的求解，解答本題還要求考試具備一定的邏輯推理與運算的能力