Question

（2010•福建模擬）已知中心的坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點Q(2，

3

3

)，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F₁
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是

10

3

”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F、M兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

分析：（法一）（I）由題意可設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由一個焦點為F₁（2，0）可得C的另一個焦點為F₂（-2，0），由雙曲線的定義可求2a，由c=2，結合b²=c²-a²可求b，從而可求雙曲線方程
（II）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交雙曲線于點A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|MF1|

為定值，定值是2
證明：由于直線與x軸不垂直，可設直線L的方程為y=k（x-1），聯立方程

y2=4x y=k(x-1)

可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，可求線段AB的中點P的坐標，及AB的垂直平分線MP的方程，及M，從而可求MF₁，而|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，代入可求AB，即可
（III）過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則

|AB|

|MF|

為定值，定值是

2

e

（其中e 是圓錐曲線E的離心率）
（法二）（I）由題意可設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知可得

4 a2 - 1 3 b2 =1 a2+b2=1

，解方程可求a，b，進而可求方程
（ II）（III）同法一

解答：解：（I）由題意可設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵點Q(2，

3

3

)，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F₁
∴雙曲線C的一個焦點為F₁（2，0）可得C的另一個焦點為F₂（-2，0）（1分）
由2a=||QF₁|-|QF₂||=|

(2+2)2+( 3 3 -0) 2

-

(2-2)2+( 3 3 -0)2

|=2

3

（3分）
∴a=

3

，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）
雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1
（II）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交拋物線于點A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|MF1|

為定值，定值是2（6分）
證明如下：由于直線與x軸不垂直，可設直線L的方程為y=k（x-1）（k≠0）
聯立方程

y2=4x y=k(x-1)

可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由題意L與C有兩個交點A，B，則k²≠0，△＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

∴線段AB的中點P的坐標(

k2+2

k2

，

2

k

)（8分）
AB的垂直平分線MP的方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

k2+2

k2

)
令y=0可得，x=3+

2

k2

即M（3+

2

k2

，0），F₁（1，0）
∴|MF₁|=2+

2

k2

（9分）
∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=

4

k2

 +4
∴

|AB|

|MF1|

=2（10分）
（III）過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則

|AB|

|MF|

為定值，定值是

2

e

（其中e 是圓錐曲線E的離心率）（13分）
（法二）由題意可設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（1分）
由已知可得

4 a2 - 1 3 b2 =1 a2+b2=1

（3分）
解可得，

a2=3 b2=1

∴雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1（4分）
（II ），（III）同法一

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用及弦長公式的求解，解答本題還要求考試具備一定的邏輯推理與運算的能力