Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極大值點；

（Ⅲ）證明：函數(shù)有且僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，從而解得切線的切率，根據(jù)點斜式即可求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)的單調(diào)性，即可容易求證；

（Ⅲ）根據(jù)的正負，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可容易證明.

（Ⅰ）因為，

所以，

，

又因為，

所以切線方程為，

即：.

（Ⅱ）證明：因為和在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞減，

且．

又，

所以在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)，使得=0，

并且當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以在區(qū)間上有唯一的極大值點.

（Ⅲ）證明：當(dāng)時，

，，

此時.

當(dāng)時，

，，

此時.

當(dāng)時，

因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

因為，，

所以在上有且僅有一個零點.

綜上所述，函數(shù)有且僅有一個零點.