Question

（2011•靜海縣一模）已知下列四個(gè)命題：
①i是虛數(shù)單位，則

2i3

1-i

=1-i；
②命題“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是“不存在x₀∈R，2x0＞0”；
③函數(shù)f（x）=e^x+x-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)；
④函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象的一部分如圖所示，則ω、φ的值分別為2，-

π

3

．
其中是真命題的是（　　）

A．①②

B．②④

C．③④

D．①③

Answer 1

分析：①利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)．②利用特稱命題的否定是全稱命題去判斷．③利用根的存在性定理，驗(yàn)證f（0）f（1）＜0是否成立．④根據(jù)圖象求出對(duì)應(yīng)的ω、φ．

解答：解：①

2i3

1-i

=

-2i

1-i

=

-2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=

-2i(1+i)

2

=1-i，所以①正確．
②特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是?x∈R，2^x＞0．所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=e^x+x-2在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，且f（0）=2⁰+0-2=-10，
所以根據(jù)根的存在定理可知函數(shù)f（x）=e^x+x-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，所以③正確．
④由圖象可知

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，解得周期T=π，又T=π=

2π

ω

，所以解得ω=2，此時(shí)y=sin（2x+φ）．
由f(

7π

12

)=sin?(2×

7π

12

+?)=-1，解得sin?(

7π

6

+?)=-1，
即

7π

6

+?=

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得?=

π

3

+2kπ，k∈Z，
因?yàn)?span id="uoykyqg" class="MathJye">|?|＜

π

2

，所以解得?=

π

3

．所以④錯(cuò)誤．
所以真命題為①③．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查各種命題的真假判斷，熟練掌握各種命題的判斷方法是解決這類問題的關(guān)鍵．