Question

若直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax-1的切線，則a的值為______．

Answer 1

由y=x³-3x²+ax-1，得：y^′=3x²-6x+a．
設直線y=x與曲線y=x³-3x²+ax-1切于（x0，x03-3x02+ax0-1），
又y′|x=x0=3x02-6x0+a，所以，3x02-6x0+a=1①
由（x0，x03-3x02+ax0-1）在直線y=x上，
∴x03-3x02+ax0-1=x0②
由①得，a=1+6x0-3x02③
把③代入②得：x03-3x02+(1+6x0-3x02)•x0-1=x0
整理得：2x03-3x02+1=0，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
所以，x₀=1或x0=-

1

2

．
當x₀=1時，a=1+6×1-3×1²=4．
當x0=-

1

2

時，a=1+6×(-

1

2

)-3×(-

1

2

)2=1-3-

3

4

=-

11

4

．
所以a的值為4或-

11

4

．
故答案為4或-

11

4

．