Question

（2012•淮南二模）已知函數f（x）對任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，且f（1）=2，則f（1003）=（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

Answer 1

分析：由函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱且由y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱即函數y=f（x）為偶函數，在已知條件中令x=-2可求f（2）=0，從而求得函數的周期，利用所求周期以及偶函數的性質即可求解．

解答：解：：∵函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱且把y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱，即函數y=f（x）為偶函數．
∵f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2可得f（2）-f（-2）=2f（2），則f（2）=0．
從而可得f（x+4）=f（x）即函數是以4為周期的周期函數，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2，
故選A．

點評：本題主要考出了函數的圖象的平移及函數圖象的對稱性的應用，利用賦值求解抽象函數的函數值，函數周期的求解是解答本題的關鍵所在，屬于中檔題．