Question

從A，B，C，D四個中選做2個A．選修4-1（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．選修4-2（矩陣與變換）
將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，求所得曲線的方程．
C．選修4-4（坐標系與參數方程）
求直線

x=1+2t y=1-2t

（t為參數）被圓

x=3cosa y=3sina

（α為參數）截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知x，y均為正數，且x＞y，求證：2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

Answer 1

分析：A、連接OD、BD，確定△BOD是等邊三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的長，最后根據題中圓的切線條件，依據切割線定理求得BC的長；
B、確定旋轉變換矩陣，設xy=1上的任意點P'（x'，y'）在變換矩陣M作用下為P（x，y），確定坐標之間的關系，即可求得曲線的方程；
C、化參數方程為普通方程，求出圓心到直線的距離，即可求得截得的弦長；
D、設x=y+z（z＞0），則原式=2（y+z）+

1

z2

=2y+2z+

1

z2

，利用基本不等式可得結論．

解答：A、解：連接OD、BD，
∵DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點
∴可得等腰三角形BOD是等邊三角形，
∵在直角三角形OCD中，CD=2，
∴可得OD=

2 3

3

，
∵CD是圓O的切線，∴由切割線定理得CD²=CB×CA，
即4=CB×（CB+

4 3

3

），∴BC=

2 3

3

；
B、解：由題意，得旋轉變換矩陣M=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

設xy=1上的任意點P'（x'，y'）在變換矩陣M作用下為P（x，y），則

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x′ y′

=

x y

∴x=

2

2

x′-

2

2

y′，y=

2

2

x′-

2

2

y′，
∵xy=1，∴

y2

2

-

x2

2

=1；
C、直線

x=1+2t y=1-2t

（t為參數）的普通方程為x+y-2=0，圓

x=3cosa y=3sina

（α為參數）的普通方程為x²+y²=9
∴圓心到直線的距離為

2

2

=

2

，∴截得的弦長為2

9-2

=2

7

；
D、證明：設x=y+z（z＞0），則原式=2（y+z）+

1

z2

=2y+2z+

1

z2

∵2z+

1

z2

=z+z+

1

z2

≥3
∴2y+2z+

1

z2

≥2y+3
∴2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．

點評：本題考查選講知識，考查幾何證明選講、旋轉變換、參數方程、不等式的證明，綜合性強．