Question

用a，b，c，d四個不同字母組成一個含n+1（n∈N⁺）個字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個字母不同．例如n=1時，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是a的字符串的種數為a_n．
（1）試用數學歸納法證明：an=

3n+3(-1)n

4

(n∈N*，n≥1)；
（2）現從a，b，c，d四個字母組成的含n+1（n∈N^*，n≥2）個字母的所有字符串中隨機抽取一個字符串，字符串最后一個的字母恰好是a的概率為P，求證：

2

9

≤P≤

1

3

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，易得n=1時，等式成立，進而假設設n=k時，等式正確，再分析n=k+1時的等式與n=k的等式之間的關系，驗證n=k+1時等式仍成立；綜合可得證明；
（2）根據題意，易得易知P=

1

4

•

3n+3(-1)n

3n

=

1

4

[1+

3(-1)n

3n

]，分①當n為奇數（n≥3）與②當n為偶數（n≥2）兩種情況，分別求得P，綜合可得證明．

解答：（1）證明：
（ⅰ）當n=1時，因為a₁=0，

3+3(-1)

4

=0，所以等式正確．
（ⅱ）假設n=k時，等式正確，即ak=

3k+3(-1)k

4

(k∈N*，k≥1)，
那么，n=k+1時，因為ak+1=3k-ak=3k-

3k+3(-1)k

4

=

4•3k-3k-3(-1)k

4

=

3k+1+3(-1)k+1

4

，
這說明n=k+1時等式仍正確．
據（ⅰ），（ⅱ）可知，an=

3n+3(-1)n

4

(n∈N*，n≥1)正確；
（2）解：易知P=

1

4

•

3n+3(-1)n

3n

=

1

4

[1+

3(-1)n

3n

]，
①當n為奇數（n≥3）時，P=

1

4

(1-

3

3n

)，
因為3ⁿ≥27，所以P≥

1

4

(1-

3

27

)=

2

9

，又P=

1

4

(1-

3

3n

)＜

1

4

，所以

2

9

≤P＜

1

4

；
②當n為偶數（n≥2）時，P=

1

4

(1+

3

3n

)，
因為3ⁿ≥9，所以P≤

1

4

(1+

3

9

)=

1

3

，又P=

1

4

(1+

3

3n

)＞

1

4

，所以

1

4

＜P≤

1

3

．
綜上所述，

2

9

≤P≤

1

3

．

點評：本題考查數學歸納法的運用，注意數學歸納法的步驟，2個步驟必須完整、嚴密，第二步尤其重要，否則將會影響解題的嚴密性，甚至得到錯誤的結論．