Question

已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：相切．
（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）為圓上任意一點(diǎn)，AN⊥x軸于N，若動點(diǎn)Q滿足，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數(shù)），試求動點(diǎn)Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，當(dāng)時(shí)，得到曲線C，問是否存在與l₁垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則
所以圓C₁的方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）設(shè)動點(diǎn)Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）
由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以
即：，
將代入x²+y²=4，
得
（Ⅲ）時(shí)，曲線C方程為，
假設(shè)存在直線l與直線l₁：垂直，
設(shè)直線l的方程為y=﹣x+b
設(shè)直線l與橢圓交點(diǎn)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立得：，得7x²﹣8bx+4b²﹣12=0
因?yàn)椤?48（7﹣b²）＞0，解得b²＜7，且
∴===
因?yàn)椤螧OD為鈍角，
所以，
解得滿足b²＜7
∴
所以存在直線l滿足題意。