Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A（x₀，y₀）為圓上任意一點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足

OQ

=m

OA

+n

ON

，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數），試求動點Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當m=

3

2

時，得到曲線C，問是否存在與l₁垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圓與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，利用點到直線的距離，求出圓的半徑，從而可求圓C₁的方程；
（Ⅱ）設出點的坐標，利用向量條件，確定動點坐標之間的關系，利用A為圓上的點，即可求得動點Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）m=

3

2

時，曲線C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，假設直線l的方程，與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯立，利用韋達定理及向量條件，利用數量積小于0，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則d=

|-2 2 |

12+12

=2…（2分）
所以圓C₁的方程為x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）設動點Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸于N，N（x₀，0）
由題意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以

x=(m+n)x0=x0 y=my0

…（5分）
即：

x0=x y0= 1 m y

，將A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4，得

x2

4

+

y2

4m2

=1…（7分）
（Ⅲ）m=

3

2

時，曲線C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，假設存在直線l與直線l₁：x-y-2

2

=0垂直，
設直線l的方程為y=-x+b…（8分）
設直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立得：

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因為△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

…（10分）
∴

OD

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1+x2)+b2
=

8b2-24

7

-

8b2

7

+b2=

7b2-24

7

…（12分）
因為∠BOD為鈍角，所以

7b2-24

7

＜0且b≠0，
解得b2＜

24

7

且b≠0，滿足b²＜7
∴-

2 42

7

＜b＜

2 42

7

且b≠0，
所以存在直線l滿足題意…（14分）

點評：本題考查圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理進行求解．