Question

某漁業公司年初用98萬元購進一艘漁船，用于捕撈，第一年所需費用為12萬元，從第二年起包括各種費用在內，每年所需費用均比上一年增加4萬元．該船每年捕撈收入為50萬元．
（1）該船幾年開始獲利？
（2）該船經過若干年后，處理方案有兩種：①當年平均盈利最大時，以26萬元價格賣出；②當盈利總額達到最大時，以8萬元賣出．問那種方案合算？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意先設n年后盈利額為y元，利用數列的求和公式即可求得y的表達式，最后令y＞0，解得n的取值范圍從而解決問題；
（2）①先求出平均盈利的函數表達式，再利用基本不等式求其最大值，從而得出盈利總額；②先求出平均盈利的函數表達式，再利用二次函數的圖象與性質求其最大值，從而得出盈利總額；最后比較兩種情況的盈利額的情況即可解決問題．

解答：解：（1）設n年后開始贏利，則n年收入為50n，n共需要費用為12+16+…+[12+4（n-1）]，由等差數列求和可得：2n²+10n．
若開始贏利，則有：50n＞2n²+10n+98，
即：n²-20n+49＜0，
解得10-

51

＜n＜10+

51

，
又因為n∈N^*，所以n=3，4，5，…，17，即從第三年開始盈利．…（5分）
（2）①設年平均盈利為u，則u=

50n-2n2-10n-98

n

=40-2(n+

49

n

)≤40-4

49

=12，
當且僅當n=

49

n

時取“=”，即n=7年時平均盈利最多，
這時共獲利12×7+26=110（萬元）；      …（8分）
②設盈利總額為v，則v=50n-2n²-10n-98=-2（n²-20n+49）=-2（n-10）²+102，
所以當n=10時，贏利總額最大值，這時共可獲利102+8=110萬元． …（11分）
比較①②可知，方案①花了7年可獲利110萬元，而方案②花10年可獲利110萬元，
所以方案①合算．           …（12分）

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．