Question

△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設復數z=sinA（sinA-sinC）+（sin²B-sin²C）i，且z在復平面內所對應的點在直線y=x上．
（1）求角B的大小；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圓的面積為4π，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）復數z所對應的點在直線y=x上，得出sinA（sinA-sinC）=sin²B-sin²C，化簡后根據正弦定理得出a，b，c的關系式，再根據余弦定理求出cosB，求出角B．
（2）根據sinB=sin（A+C）及sinB=cosAsinC可求得cosCsinA=0，求出cosc=0，可知c為90°判斷三角形為直角三角形．進而推斷AB為外接圓的直徑，由△ABC的外接圓的面積求出AB的長．進而求出AC，最后通過兩個直角邊的長求出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵復數z=sinA（sinA-sinC）+（sin²B-sin²C）i所對應的點在直線y=x上，
∴sinA（sinA-sinC）=sin²B-sin²C，
即sin²A-sin²B-+sin²C=sinAsinC，
由正弦定理，得a²+c²-b²=ac
∴cosB=

a2+c2- b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π）
∴B=

π

3

．
（2）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
sinB=cosAsinC，
∴cosCsinA=0
∵A，C∈（0，π）
∴cosC=0，C=

π

2

直角三角形ABC中，AB為外接圓的直徑．
∴π(

AB

2

)2=4π
∴AB=4
∵B=

π

3

∴BC=2，AC=2

3

∴S△ABC=

1

2

CA•CB=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

點評：本題主要考查正弦定理的應用．解這道題的關鍵是通過正弦定理完成三角形邊角的轉化．