Question

（2013•東城區一模）在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=

3

acosB．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2

3

，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為bsinA=

3

acosB，由正弦定理求得tanB=

3

，從而求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得12=a²+c²-ac，再利用基本不等式求得ac的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為bsinA=

3

acosB，由正弦定理可得sinBsinA=

3

sinAcosB．
因為在△ABC中，sinA≠0，所以tanB=

3

．
又0＜B＜π，所以B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理 b²=a²+c²-2accosB，因為B=

π

3

，b=2

3

，所以12=a²+c²-ac．
因為a²+c²≥2ac，所以ac≤12．
當且僅當a=c=2

3

時，ac取得最大值12．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．