【題目】設
是正整數(shù).在一個十進制位數(shù)的各位數(shù)字中，若含有數(shù)字8，則在每個數(shù)字8的前一位數(shù)字就不能是數(shù)字3（即不能出現(xiàn)38字樣）.試求出所有這樣的位數(shù)的個數(shù).
【答案】
【解析】
考慮滿足條件的
位數(shù)的個數(shù)
，分以下兩種情形.
（1）當個位數(shù)字不是8時，前
位數(shù)有
種取法，個位數(shù)字有9種取法，從而，該
位數(shù)有
種取法.
（2）當個位數(shù)字是8時，可分成如下三類：
8 8 … 8 8（各位數(shù)字全是8），
個
… 非3亦非8 8 8 … 8 8
第
位
位 
個
非3亦非8 8 8 … 8 8.
第位 個
由此可知，個位數(shù)字為8的位允許的正整數(shù)的個數(shù)是
由（1）和（2）得
. ①
由式①得
. ②
由②-①得
，
即
. ③
易知
.
由式③知
，
其中，
為待定常數(shù)，則
解得
.
故
.
這就是符合題意的位正整數(shù)的個數(shù).
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【題目】已知函數(shù)
（1）若函數(shù)
在x=1時取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）當0＜a＜1時，求零點的個數(shù).
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【題目】設有限數(shù)列
，定義集合
為數(shù)列
的伴隨集合．
（Ⅰ）已知有限數(shù)列
和數(shù)列
．分別寫出
和
的伴隨集合；
（Ⅱ）已知有限等比數(shù)列
，求的伴隨集合
中各元素之和
；
（Ⅲ）已知有限等差數(shù)列
，判斷
是否能同時屬于的伴隨集合，并說明理由．
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【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），曲線
的直角坐標方程為
.
（1）求與的極坐標方程；
（2）在以
為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線
與的異于極點的交點為
，與的異于極點的交點為
，求
.
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【題目】在四棱錐P-ABCD中，
平面ABCD，
，
，
，
，E為PD的中點，點F在PC上，且
．
（1）求證：平面
平面PAD；
（2）求二面角F-AE-P的余弦值．
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【題目】如圖,已知拋物線C頂點在坐標原點，焦點F在Y軸的非負半軸上，點
是拋物線上的一點.
（1）求拋物線C的標準方程
（2）若點P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點P,Q處的切線交于點S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1，k2,且滿足
,當P,Q在C上運動時，△PQS的面積是否為定值？若是，求出△PQS的面積；若不是，請說明理由.
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【題目】根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量
（百千克）與某種液體肥料每畝使用量
（千克）之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.
（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數(shù)
并加以說明（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為
千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？
附：相關系數(shù)公式
，回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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【題目】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎.為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作，某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人，通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間(單位：小時)，并繪制出如右的頻率分布直方圖：
(Ⅰ)求這100人睡眠時間的平均數(shù)
(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，結果精確到個位)；
(Ⅱ)由直方圖可以認為，人的睡眠時間
近似服從正態(tài)分布
，其中
近似地等于樣本平均數(shù)，
近似地等于樣本方差
，
.假設該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人，試估計該人群中一周睡眠時間位于區(qū)間(39.2，50.8)的人數(shù).
附：
.若隨機變量
服從正態(tài)分布，則
，
.
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