Question

【題目】設有限數列，定義集合為數列的伴隨集合．

（Ⅰ）已知有限數列和數列．分別寫出和的伴隨集合；

（Ⅱ）已知有限等比數列，求的伴隨集合中各元素之和；

（Ⅲ）已知有限等差數列，判斷是否能同時屬于的伴隨集合，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數列的伴隨集合為，數列的伴隨集合為；（Ⅱ）（Ⅲ）不能

【解析】

（Ⅰ）由數列A的伴隨集合定義可得P，Q的伴隨集合；

（Ⅱ）先證明對任意i≠k或j≠l，則ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），可得求集合M中各元素之和時，每個ai（1≤i≤n）均出現n﹣1次，由等比數列的求和公式，計算可得所求和；

（Ⅲ）假設同時屬于數列A的伴隨集合M．設數列A的公差為d（d≠0），運用等差數列的定義和通項公式、性質，推理論證得到矛盾，即可判斷．

解：（Ⅰ）數列的伴隨集合為，數列的伴隨集合為．

（Ⅱ）先證明對任意或，則．

假設．

當且，因為，則，即，

所以，與矛盾．

同理，當且時，也不成立．

當且時，不妨設，因為，則，

所以，

左邊為奇數，右邊為偶數，所以，

綜上，對任意或，則

所以求集合中各元素之和時，每個均出現次，

所以

（Ⅲ）假設同時屬于數列的伴隨集合．

設數列的公差為，則

即

②-①得，，

③-①得，，

兩式相除得，，

因為，

所以，

，

所以．

又因為，

所以，

，

所以，與矛盾，

所以不能同時屬于數列的伴隨集合．