Question

已知復數z=x+yi（x，y∈R）在復平面上對應的點為M．
（Ⅰ）設集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，從集合P中隨機取一個數作為x，從集合Q中隨機取一個
數作為y，求復數z為純虛數的概率；
（Ⅱ）設x∈[0，3]，y∈[0，4]，求點M落在不等式組：

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

所表示的平面區域內的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每種情況出現的可能性相等，是一個古典概型列舉出試驗發生包含的所有事件是組成復數z的所有情況共有12個，其中事件A包含的基本事件共2個：i，2i．根據古典概型公式得到結果．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的所有事件是在平面區域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}內，做出面積，滿足條件的事件是三角形OAD的區域，做出面積，根據幾何概型公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）每種情況出現的可能性相等，是一個古典概型
記“復數z為純虛數”為事件A
∵列舉出組成復數z的所有情況共有12個：-4，-4+i，-4+2i，-3，-3+i，-3+2i，
-2，-2+i，-2+2i，0，i，2i，
其中事件A包含的基本事件共2個：i，2i．
∴所求事件的概率為P(A)=

2

12

=

1

6

（Ⅱ）依條件可知，點M均勻地分布在平面區域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}內，
該平面區域的圖形為圖中矩形OABC圍成的區域，面積為S=3×4=12．
所求事件構成的平面區域為{(x，y)|

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

}，
其圖形如下圖中的三角形OAD（陰影部分）
又直線x+2y-3=0與x軸、y軸的交點分別為A(3，0)，D(0，

3

2

)，
∴三角形OAD的面積為S1=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

.
∴所求事件的概率為P=

S1

S

=

9 4

12

=

3

16

.

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．