Question

定義：對于任意x∈[0，1]，函數f（x）≥0恒成立，且當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱f（x）為G函數．已知函數g（x）=x²與h（x）=a-2^x-1是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，利用函數圖象討論方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的個數情況．

Answer 1

分析：（1）欲看函數g（x）是否為G函數，根據新定義，主要看它是否滿足兩條，利用定義進行驗證即可．
（2）根據新定義的G函數的定義，分別根據①②兩條性質得出實數a的值的范圍，最后綜合即可禾
（3）根據（2）知：a=1，方程為4^x+2^-2x+1-1=m，令4^x=t  方程為t+

2

t

=m+1，作出其圖形，由圖形可得．

解答：解：（1）當x∈[0，1]時，總有g（x）=x²≥0，滿足條件①對于任意x∈[0，1]，函數f（x）≥0恒成立，（1分）
當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x

2 1

+x

2 2

=g（x₁）+g（x₂），滿足條件②當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，（3分）
（2）∵h（x）=a•2^x-1是G函數，∴h（x）=a•2^x-1≥0，∴a≥

1

2x

恒成立．（4分）
∴a≥1．（5分）
由g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），得
a•2 x1+x2-1≥a•2 x1-1+a•2 x2-1，
即a[1-（2 x1-1）（2 x2-1）]≤1，（6分）
因為 x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 2 x1-1≤1，2 x2-1≤1，x₁與x₂不同時等于1
∴0≤（2 x1-1）（2 x2-1）]＜1，
∴0＜1-（2 x1-1）（2 x2-1）≤1，
∴a≤

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

（7分）
當x₁=x₂=0時，

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

的最小值=1，∴a≤1，（8分）
綜合上述a的值為1．（8分）
（3）根據（2）知：a=1，方程為4^x+2^-2x+1-1=m，（9分）
令4^x=t  方程為t+

2

t

=m+1，如圖 （10分）
由圖形可知：
當m∈{2

2

-1}∪（2，

7

2

]時，有一解；
當m∈（2

2

-1，2]時，有二不同解；
當m∈（-∞，2

2

-1）∪（

7

2

，+∞）時，方程無解．（2分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、根的存在性及根的個數判斷、最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．