Question

已知定義在R上函數f（x）為奇函數，且在[0，+∞）上是增函數，對于任意x∈R．求實數m范圍，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0恒成立．

Answer 1

分析：根據函數的奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化即可得到結論．

解答：解：∵f（x）為奇函數且在[0，+∞）上是增函數，
∴f（x）R上是增函數，
由f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0得f（cos2θ-3＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉化為：t²-mt+2m-2＞0．
當t∈[-1，1]時，設g（t）=t²-mt+2m-2＞0．
由t²-mt+2m-2＞0，得m＞t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]時，
∵t-2+

2

t-2

+4=-[-（t-2）+（-

2

t-2

）]+4≤4-2

2

即當且僅當t=2-

2

時，取等號，
∴m＞4-2

2

．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性和單調性，以及利用基本不等式求最值，同時考查了轉化的思想．