Question

【題目】某地為改善旅游環境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M），在堤岸線l3上的E，F兩處建造建筑物，其中E，F到M的距離為1（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．

（1）在圖②中建立適當的平面直角坐標系，并求棧道AB的方程；

（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時，視角∠EPF最大．

【解析】

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系，設出方程，通過點的坐標可求方程；

（2）設出的坐標，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測點P的坐標．

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系

由題意知：B(1，0.5)，設拋物線方程為

代入點B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；

（2）設P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝

，，

令，，則：

，

當且僅當即，即，即時取等號；

故P(，)時視角∠EPF最大，

答：P(，)時，視角∠EPF最大．