Question

橢圓

x2

12

+

y2

3

=1的焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，那么cos∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

分析：依題意，可求得a=2

3

，b=

3

，c=3，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），由線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，可求得P（3，±

3

2

），繼而可求得|PF₁|與|PF₂|，利用余弦定理即可求得答案．

解答：解：∵橢圓的方程為：

x2

12

+

y2

3

=1，
∴a=2

3

，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=3，
又其左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，
∴F₁為（-3，0），F(xiàn)₂為（3，0）．
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），線段PF₁的中點(diǎn)為（

x-3

2

，

y

2

），
∵線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，
∴

x-3

2

=0，解得x=3，
∴P（3，±

3

2

），
任取一個(gè)P為（3，

3

2

），
則|PF₁|=

[3-(-3)]2+( 3 2 )2

=

7 3

2

，|PF₂|=2a-

7 3

2

=4

3

-

7 3

2

=

3

2

；
由余弦定理得：cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

( 7 3 2 )2+( 3 2 )2-62

2× 7 3 2 × 3 2

=

1

7

．
故答案為：

1

7

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與兩點(diǎn)間的距離公式，突出余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．