Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，AB為橢圓的一條弦（不經過原點），直線y=kx（k＞0）經過弦AB的中點，與橢圓C交于P，Q兩點，設直線AB的斜率為k1 ．

（1）若點Q的坐標為（1， ），求橢圓C的方程；
（2）求證：k1k為定值；
（3）過P點作x軸的垂線，垂足為R，若直線AB和直線QR傾斜角互補．若△PQR的面積為2 ，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件得： ，解得a=2，b= ，

∴橢圓方程為 =1

（2）證明：設AB的中點為（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由于A，B為橢圓上的點，

∴ ， ，

兩式相減得： + =0，即 =﹣ =﹣ ，

∵k1= ，k= ，

∴k1=﹣ ，即k1k=﹣ ．

∵e= = ，∴ = = ，

∴k1k=﹣

（3）解：設Q（s，t）（s＞0，t＞0），則P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），

∴kQR= = ，

∵直線AB和直線QR傾斜角互補，

∴ =﹣k1，又k1k=﹣ ，且k＞0，

∴k= ，

又S△PQR=st=2 ， =k= ，

∴s=2，t= ，即Q（2， ），

∴ =1，又 ，

∴a=2 ，b=3，

∴橢圓方程為

【解析】（1）將點Q的坐標代入橢圓方程，再根據橢圓的離心率公式e=及橢圓中a2=b2+c2，得到關于a、b、c的三個方程：（2）設出點A、點B及AB中點的坐標，然后利用”點差法“及斜率公式k=分別將k1、k用點的坐標表示出來；（3）設出點Q的坐標，根據P、Q、R三點間的位置關系將點P、點R的坐標用點Q的坐標表示出來，然后根據直線斜率公式k=將直線QR的斜率用點Q、點R的坐標表示找出k1與k的關系，與k1k=-聯立解出k,再將S用點的坐標表示并將點Q的坐標解出后代入橢圓方程.