Question

給出下列命題：
①若y=f（x）是奇函數，則y=|f（x）|的圖象關于y軸對稱；
②若函數f（x）對任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則8是函數f（x）的一個周期；
③若log_m3＜log_n3＜0，則0＜m＜n＜1；
④若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數，則a≤1．
其中正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①根據函數奇偶性的性質進行判斷．②根據函數周期性的定義進行推導．③根據對數的運算法則進行計算．④根據復合函數的單調性進行判斷．

解答：解：①若y=f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），∴|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|，即|f（x）|為偶函數，∴圖象關于y軸對稱；正確．
②若函數f（x）對任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則f（x）≠0，
∴f（x）•f（x+4）=f（x+4）•f（x+8）=1，即f（x+8）=f（x），則8是函數f（x）的一個周期；正確．
③若log_m3＜log_n3＜0，則

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，
即log₃n＜log₃m＜0，即0＜n＜m＜1，∴③錯誤．
④設t=|x-a|，則函數y=e^t單調遞增，t=|x-a|在[a，+∞）上也單調遞增，∴若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數，則a≤1．正確．
∴正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查函數奇偶性，周期性和單調性的判斷和應用，利用相應的定義和性質是解決本題的關鍵，要求熟練掌握函數的性質的綜合應用．