Question

17、如圖，已知A、B、C、D分別為過拋物線y²=4x焦點F的直線與該拋物線和圓（x-1）²+y²=1的交點，則|AB|•|CD|=

1

．

Answer 1

分析：先看當直線斜率不存在時，直線方程可得，進而可直接求得A，B，C，D的坐標，則利用兩點間的距離公式求得AB，CD則答案可得；當直線斜率存在時，設出直線方程與拋物線方程聯立利用韋達定理求得x_ax_b，根據拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，根據拋物線的定義可求得|AB|=|AF|-|BF|=x_a，|CD|=|DF|-|CF|=x_b．最后根據x_ax_b的值求得答案．

解答：解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，
可直接得到ABCD四個點的坐標為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以AB=1，CD=1，
從而|AB•CD|=1．
若直線的斜率存在，設為k，則直線方程為y=k（x-1），因為直線過拋物線的焦點（1，0）
不妨設A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），過AB分別作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義，
|AF|=x_a+1，|DF|=x_b+1，
把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韋達定理有 x_ax_b=1
而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，所以|BF|=|CF|=R=1
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x_a，|CD|=|DF|-|CF|=x_b．
所以|AB•CD|=x_ax_b=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，直線與拋物線的關系．在設直線的方程的時候，一定要對直線的斜率的存在情況進行分類討論．