Question

如圖，已知A、B、C、D四點共圓，延長AD和BC相交于點E，AB=AC．
（1）證明：AB²=AD•AE；
（2）若EG平分∠AEB，且與AB、CD分別相交于點G、F，證明：∠CFG=∠BGF．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由AB=AC，知∠ABC=∠ADB，由∠BAD=∠EAB，知△ABD∽△AEB，由此能證明AB²=AD•AE．
（2）由A、B、C、D四點共圓，知∠ABC=∠EDF，由∠DEF=∠BEG，能證明∠CFG=∠BGF．

解答：證明：（1）如圖，連接BD，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．
（2）∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠ABC=∠EDF，
∵EG平分∠AEB，∴∠DEF=∠BEG，
∴∠EGB=∠EFD，
∵∠CFG=∠EFD，∠EGB=∠BGF，
∴∠CFG=∠BGF．

點評：本題考查與圓有關的比例線段的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．