Question

（2010•上饒二模）已知AC，BD為圓O：x²+y²=4的兩條互相垂直的弦，垂足為m(1，

2

)．則四邊形ABCD的面積的取值范圍是

[4，5]

．

Answer 1

分析：設圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂² =3，代入面積公式s=

1

2

AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．通過面積公式化簡，利用不等式的基本性質，求出表達式的最小值，得到四邊形面積的范圍．

解答：解：如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2  OM=

3

，
設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=3．
四邊形ABCD的面積為：s=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：
s=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

≤8-(

d

2 1

+

d

2 2

)=5，
（當且僅當d₁² =d₂²時取等號．）
又，s=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

=2

16-4( d 2 1 + d 2 2 )+ d 2  1 d 2 2

=2

4+ d 2 1 d 2 2

≥4．
四邊形ABCD的面積的取值范圍是：[4，5]．
故答案為：[4，5]．

點評：此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算．