Question

已知x₁、x₂是關于x₁的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個實根，那么

x

2 1

+

x

2 2

的最大值是（　　）

• A．19
• B．17
• C．

  122

  9

• D．18

Answer 1

分析：先利用韋達定理得出根與系數的關系，再將所求式變形，結合函數的判別式，確定函數在區間上為單調減函數，由此即可求得

x

2 1

+

x

2 2

的最大值．

解答：解：∵x₁、x₂是關于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個實根
∴x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2 =(k-2)2-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

∴函數在[-4，-

4

3

]上是單調減函數
∴k=-4時，

x

2 1

+

x

2 2

取得最大，最大值為18
故選D．

點評：本題考查根與系數關系的運用，考查二次函數最值的研究，其中構建函數，確定參數的范圍是解題的關鍵．