Question

球面上三點A，B，C組成這個球的一個截面的內接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到該截面的距離為球的半徑的一半．
（1）求球的體積；
（2）求A，C兩點的球面距離．

Answer 1

分析：（1）通過題意，確定△ABC的形狀，先求球的半徑，然后求球的體積．
（2）求出∠AOC，再求A，C兩點的球面距離．

解答：解：（1）球面上三點A、B、C，平面ABC與球面交于一個圓，三點A、B、C在這個圓上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC²=AB²+BC²，
∴AC為這個圓的直徑，AC中點M圓心球心O到平面ABC的距離，即OM=球半徑的一半=

1

2

R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=

1

2

R，AM=

1

2

AC=15，OA=R
由勾股定理（

1

2

R）²+15²=R²，

3

4

R²=225 R²=300，R=10

3

球的體積S=

4

3

πR3=4000

3

π（體積單位）．
（2）由（1）可知∠AOC=120°
所以A，C兩點的球面距離：

1

3

×2πR=

20 3 π

3

點評：本題考查球的體積及其他計算，考查學生空間想象能力，是中檔題．