Question

【題目】某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷，定價為5元/瓶．酸奶在試銷售期間足量供應，每天的銷售數據按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計概率．試銷結束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發：大箱每箱50瓶，批發成本85元；小箱每箱30瓶，批發成本65元．由于酸奶保質期短，當天未賣出的只能作廢．該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發一箱（計算時每個分組取中間值作為代表，比如銷量為（45，55]時看作銷量為50瓶）．

（1）設早餐店批發一大箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量X，批發一小箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量Y，求X和Y的分布列；

（2）從早餐店的收益角度和利用所學的知識作為決策依據，該早餐店應每天批發一大箱還是一小箱？（必須作出一種合理的選擇）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）早餐店應該批發一小箱.

【解析】

（1）先由頻率分布直方圖求出各銷量對應的概率，然后分別列出隨機變量X和Y可能的取值及其概率；

（2）先算出隨機變量X和Y的數學期望，發現期望值相同，然后再算出其方差，方差越小越穩定越好.

（1）若早餐店批發一大箱，批發成本為85元，依題意，銷量有20，30，40，50四種情況．

當銷量為20瓶時，利潤為5×20﹣85＝15元，

當銷量為30瓶時，利潤為5×30﹣85＝65元，

當銷量為40瓶時，利潤為5×40﹣85＝115元，

當銷量為50瓶時，利潤為5×50﹣85＝165元．

隨機變量X的分布列為：

X	15	65	115	165
P	0.3	0.4	0.2	0.1

若早餐店批發一小箱，批發成本為65元，依題意，銷量有20，30兩種情況．

當銷量為20瓶時，利潤為5×20﹣65＝35元，

當銷量為30瓶時，利潤為5×30﹣65＝85元．

隨機變量Y的分布列為：

Y	35	85
P	0.3	0.7

（2）根據（1）中的計算結果，所以E（X）＝15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1＝70（元），

所以E（Y）＝35×0.3+85×0.7＝70（元）．E（X）＝E（Y），

D（X）=,

D（Y）= ，所以D（X）>D（Y）.

所以早餐店應該批發一小箱．